ПРОГРАММА-МИНИМУМ

кандидатского экзамена по специальности
01.01.03 "Математическая физика"
по физико-математическим наукам

В основу настоящей программы положены следующие математические и физические дисциплины: математика - математический и функциональный анализ, комплексный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра и топология, геометрия, теория вероятностей; физика - механика, теория поля, механика и электродинамика сплошных сред, теория твердого тела, квантовая механика, статистическая физика.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

1. Математические разделы

1.1. Математический и функциональный анализ

• Мера и измеримые функции. Интеграл Лебега и его сравнение с интегралом Римана. Теорема Егорова. Теорема Фубини. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла.
• Пространства L_p. Разложения по ортогональным системам функций в L₂. Ряды и преобразования Фурье. Теорема Планшереля.
• Метрические и топологические пространства. Компактность. Непрерывные функции на компакте. Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Связность.
• Линейные топологические и банаховы пространства. Теорема Хана-Банаха. Компактные операторы.
• Гильбертовы пространства. Теорема Рисса-Фишера о представлении линейных функционалов.
• Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Ограниченные операторы. Понятие о спектре оператора. Спектр компактного самосопряженного оператора. Спектральное представление линейного оператора.
• Линейные операторы и их матрицы в конечномерном вещественном и комплексном пространстве. Нормальная форма матрицы линейного оператора. Канонический вид матрицы симметрического, унитарного и кососимметрического оператора.
• Обобщенные функции и операции над ними. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста. Соболевские пространства H_s. Теорема вложения Соболева.

1.2. Комплексный анализ

• Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Лемма Шварца и принцип максимума модуля.
• Разложение голоморфных функций в ряды Тейлора и Лорана. Характеристика изолированных особых точек в терминах ряда Лорана.
• Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип аргумента и теорема Руше.
• Теорема Коши о вычетах. Целые функции. Теорема Лиувилля.
• Принцип сохранения области и теорема Гурвица. Принцип соответствия границ. Теорема Римана.
• Аналитическое продолжение. Теорема о монодромии. Точки ветвления аналитических функций. Римановы поверхности.
• Принцип симметрии. Теорема Пикара.

1.3. Дифференциальные уравнения

• Линейные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные системы решений. Метод вариации постоянных.
• Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Квазиполиномы. Общие и частные решения. Функция Грина.
• Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Асимптотическая устойчивость.
• Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения Эйлера-Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона.
• Принцип максимума Понтрягина.
• Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Теорема Гильберта-Шмидта.
• Характеристики уравнений в частных производных. Задача Коши и теорема Коши-Ковалевской. Классификация уравнений в частных производных. Метод разделения переменных.
• Уравнение Лапласа и эллиптические уравнения. Гармонические функции. Принцип максимума. Фундаментальное решение. Задачи на собственные значения и разложения по собственным функциям.
• Уравнение теплопроводности и параболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши. Принцип максимума и теорема единственности.
• Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши.

1.4. Алгебра и топология

• Группы, алгебры и кольца. Свободные группы и соотношения.
• Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.
• Поля и их алгебраические расширения. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.
• Группы и алгебры Ли. Основные типы алгебр Ли.
• Линейные представления групп и их характеры. Лемма Шура. Индуцированные представления. Закон взаимности Фробениуса.
• Фундаментальная группа. Односвязность. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие.
• Гомологии и когомологии симплициальных комплексов. Их гомотопическая инвариантность. Группы гомологий и фундаментальная группа компактных двумерных поверхностей, их классификация.
• Локально тривиальные и векторные расслоения. Пространства путей и петель. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двухмерную.
• Степень отображения и индекс особой точки векторного поля. Индекс пересечения и коэффициент зацепления. Эйлерова характеристика.

1.5. Геометрия

• Гладкие многообразия и их отображения. Дифференциал гладкого отображения и его якобиан. Теорема Сарда. Касательные векторы и касательное расслоение.
• Примеры гладких многообразий: проективные пространства, матричные группы Ли, многообразия Грассмана и Штифеля.
• Тензоры и тензорные поля. Дифференциальные формы и внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Тензоры и дифференциальные формы на комплексных многообразиях.
• Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса. Ее связь с формулами Грина и Гаусса-Остроградского. Двойственность Пуанкаре.
• Римановы многообразия и метрики. Геодезические. Связности, их тензоры кривизны и кручения. Параллельный перенос.
• Гладкие кривые, их кривизна и кручение. Формулы Френе.
• Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Теорема Менье и формула Эйлера. Главные направления и кривизны. Формула Гаусса-Бонне.
• Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Комплексная и контактная структуры.

1.6. Теория вероятностей

• Вероятностные пространства. Случайные величины и их математические ожидания. Дисперсия. Независимые случайные величины. Условные вероятности и математические ожидания.
• Нормальное распределение и распределение Пуассона. Характеристические функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Центральная предельная теорема. Законы больших чисел.
• Корреляционные функции. Цепи Маркова и марковские случайные процессы. Гауссовские процессы и процесс Пуассона.
• Броуновское движение. Стохастический дифференциал и формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения.
• Элементы математической статистики. Точечное и интервальное оценивание. Задача проверки статистических гипотез.
2. Физические разделы

2.1. Механика

• Уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Теорема Нетер и законы сохранения.
• Одномерное движение. Движение в центральном поле.
• Свободные и вынужденные колебания. Колебания при наличии трения.
• Движение твердого тела. Угловая скорость, моменты инерции и количества движения. Уравнения Эйлера.
• Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля. Уравнение Гамильтона-Якоби.

2.2. Теория поля

• Принцип относительности. Преобразования Лоренца. Интервал.
• Релятивистская механика. Принцип наименьшего действия. Энергия и импульс.
• Заряд в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Калибровочные преобразования. Уравнения движения заряда. Тензор электромагнитного поля.
• Уравнения электромагнитного поля. Действие электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса.
• Постоянное электромагнитное поле. Закон Кулона. Электростатическая энергия заряда. Диполь. Магнитный момент. Теорема Лармора. Система зарядов в электромагнитном поле.
• Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Плоские и монохроматические волны. Спектральное разложение.
• Распространение электромагнитных волн. Отражение и преломление. Принцип взаимности.
• Поле движущегося заряда. Запаздывающие потенциалы и потенциалы Льенара-Вихерта. Излучение электромагнитных волн.
• Поле системы зарядов на далеких расстояниях.

2.3. Механика и электродинамика сплошных сред

• Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения непрерывности, уравнение Эйлера).
• Уравнения движения вязкой жидкости. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости. Система уравнений Навье-Стокса.
• Звук и звуковые волны.
• Электростатика проводников.
• Электростатика диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость.
• Постоянный ток. Плотность тока и проводимость.
• Постоянное магнитное поле. Магнитное поле постоянного тока.
• Сверхпроводники. Эффект Мейснера. Сверхпроводящий ток. Критическое поле. Куперовские пары. Уравнения Гинзбурга-Ландау.

2.4. Теория твердого тела

• Типы и симметрии кристаллов. Свойства обратной решетки. Зона Бриллюэна. Теорема Блоха.
• Колебания решетки. Фононы. Фактор Дебая-Уоллера. Ангармонизм и тепловое расширение.
• Зонная структура. Квазичастицы. Электронная теплоемкость.
• Кинетическое уравнение. Решеточное сопротивление. Увлечение фононов. Эффект Холла.
• Поверхность Ферми. Диамагнитный и циклотронный резонанс. Открытые орбиты. Квантование орбит. Эффект де Гааза-ван Альфена.

2.5. Квантовая механика

• Основные положения квантовой механики. Принцип неопределенности и принцип суперпозиции. Квантово-механическое описание системы.
• Квантование. Представление Фока. Координатное и импульсное представления.
• Операторы энергии и импульса. Гамильтониан. Уравнение Гейзенберга. Соотношение неопределенности.
• Уравнение Шредингера. Одномерное движение и одномерный осциллятор. Потенциальная яма. Прохождение через барьер.
• Движение в центральном поле. Атом водорода. Разложение плоской волны.
• Уравнение Дирака. Спин.
• Тождественность частиц и принцип неразличимости. Связь спина со статистикой. Бозоны и фермионы.
• Атом. Состояния электронов и уровни энергии. Тонкая структура атомных уровней. Периодическая система Менделеева.
• Квазиклассическое приближение. Модель Томаса-Ферми.
• Движение в магнитном поле. Уравнение Шредингера в электрическом и магнитном полях. Плотность потока.
• Квантовая теория рассеяния. Матрица рассеяния. Формула Бора. Резонансное рассеяние. Упругое рассеяние. Формула Брейта-Вигнера.

2.6. Статистическая физика

• Основные принципы статистики. Статистическое распределение и статистическая независимость. Теория Лиувилля. Энтропия. Закон возрастания энтропии.
• Термодинамические величины: температура, давление. Адиабатический процесс. Работа и количество теплоты, термодинамический потенциал. Принцип Л е-Шателье, теорема Нернста.
• Распределение Гиббса. Свободная энергия. Термодинамические соотношения.
• Термодинамика идеальных газов. Распределение Больцмана. Неравновесный идеальный газ. Свободная энергия и уравнение состояния. Закон равнораспределения. Одноатомный идеальный газ.
• Распределения Бозе и Ферми.
• Равновесие фаз. Формула Клапейрона-Клаузиуса. Критическая точка.
• Флуктуации. Распределение Гиббса. Формула Пуассона.
• Фазовые переходы второго рода.

Литература к разделу 1

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
2. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977.
4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.
6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.
7. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
9. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиздат, 1951.
10. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
11. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.
12. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
13. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
14. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972.
15. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1980.
16. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.
17. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.

Литература к разделу 2

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. М.: Наука, 1973-1986.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.
3. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: УРСС, 1999.
4. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.
5. Березин Ф.А., Шубин М.А. Лекции по квантовой механике. М.: Изд-во МГУ, 1972.
6. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
7. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.
8. Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966.
9. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. М.: Мир, 1971.